Уровень понимания 1 (детский). Такая серия орлов очень маловероятна. Везение должно кончиться, наверняка следующий раз выпадет решка. Ответ: меньше 0,5.
Уровень 2 (школьный). Броски монеты независимы, на вероятность выпадения орла не влияют результаты предыдущих испытаний, поэтому ровно 0,5.
Уровень 3 (студенческий). Следует учесть возможность того, что монета нечестная, т. е. вероятность однократного выпадения орла выше 0,5. При условии нулевой гипотезы (что монета честная) вероятность получить 10 орлов подряд = 1/1024, что значительно меньше общепризнанного порога значимости 0,05. Поэтому нулевую гипотезу следует отвергнуть. Скорее всего, монета нечестная. Вероятность 11-го орла больше 0,5.
Уровень 4 (профессиональный). Нечестных монет, скорее всего, гораздо меньше, чем честных. (Наверняка меньше, чем 1 из 1000. Это же не рулетка, ни у кого нет интереса их подделывать, а случайно отчеканить сильно неуравновешенную монету не так-то просто). Поэтому мы скорее получим серию из 10 орлов, бросая честную монету, чем случайно обнаружим в своём кошельке нечестную. На языке теоремы Байеса: Р(10 орлов|честная монета) = 1/1024 < Р(10 орлов|нечестная монета), но в силу того, что априорная вероятность Р(честная монета) >> Р(нечестная монета), получаем Р(честная монета|10 орлов) > Р(нечестная монета|10 орлов). А раз монета честная, то и вероятность 11-го орла равна 0,5.
И даже если не делать априорных предположений о доле нечестных монет, нужно учесть вот что: наша монета наверняка не только что отчеканена, у неё есть история, а значит, вполне возможно, что её бросали и раньше. Значит, наши 10 орлов - лишь эпизод в серии орлов и решек, возможно, очень длинной. А это сильно повышает вероятность получить 10 орлов подряд при условии честности монеты: где-нибудь внутри серии, например, из 10 000 бросков она равна 1 - (1-1/1024)**1000 ≈ 0,62. Итак, учёт предыстории ещё больше повышает вероятность того, что монета честная, а значит, и вероятность выпадения 11-го орла, скорее всего, равна точно 0,5.
Вот оно как непросто-то.
Оригинал поста: http://robert-ibatullin.dreamwidth.org/207466.html. Комментируйте через OpenID.