Представим себе бесконечное пространство, равномерно заполненное каким-нибудь веществом. Пусть где-нибудь в этом пространстве имеется пустой шарообразный пузырь. Вопрос: чему равна сила тяготения (ускорение свободного падения) на внутренней поверхности пузыря?
С одной стороны, теорема Остроградского-Гаусса однозначно говорит: нулю. Во всём объёме пузыря, и на поверхности тоже. С другой стороны...
Представим себе, что пузырь заполнен той же материей, что и вся остальная Вселенная. Тогда тяготение в данной точке будет точно равно нулю - из соображений симметрии. Однако это нулевое тяготение можно разбить на две составляющих: тяготение шара материи, заполняющей бывший пузырь (g2), и тяготение всей остальной вселенной (g1). Тяготение шара вычисляется по закону всемирного тяготения: g2 = G M / R2 (где G - гравитационная константа, R - радиус шара, М - масса вещества в нём). Тяготение остальной вселенной равно той же величине по модулю и направлено в противоположную сторону, в силу того что сумма двух векторов равна нулю (см. рис. 1).
Теперь уберём шар и оставим опять пустой пузырь. Тогда вектор g2 обратится в ноль, а g1 не изменится, ведь в остальной вселеной ничего не изменилось. Таким образом, тело на границе пузыря будет испытывать ненулевое тяготение, направленное от центра пузыря, своего рода антигравитацию (рис. 2).
Парадоксальный результат! Получается, что совершенно пустой пузырь будет стремиться расшириться, и чем больше будет его радиус, тем сильнее - направленная наружу гравитация. Остроградский и Гаусс правы, а где-то в моём рассуждении явная ошибка. Но где?